概率论第8章：假设检验
1 假设检验
1.1 基本原理
背景：在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性质，提出某些关于总体的假设。
例如, 提出总体服从泊松分布的假设；又如，对正态总体提出数学期望等于$\mu$的假设等.
假设检验就是根据得到的样本对所提出的假设作出判断: 是接受, 还是拒绝.
例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克)：0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器这一天是否正常?
分析：用$\mu$和$\sigma$分别表示这一天袋装糖总体X的均值和标准差，由长期实践可知，标准差较稳定，设$\sigma=0.015$，则$X \sim N\left(\mu, 0.015^{2}\right)$，其中$\mu$未知。
目标：根据样本值判断$\mu=0.5$还是$\mu \neq 0.5$。
（1）提出两个对立假设
- $H_{0}: \mu=\mu_{0}=0.5$
- $H_{1}: \mu \neq \mu_{0}$
说明：利用已知样本做出判断是接受假设$H_0$，还是拒绝假设$H_1$。
如果做出的判断是接受$H_0$，则$\mu=\mu_0$，即认为机器工作是正常的，否则认真是不正常的。
（2）找到$\mu$的估计量$\bar{X}$
$\bar X$是$\mu$的无偏估计量，若$H_0$为真，则$|\bar x-\mu_0|$不应太大。
（3）构造检验统计量（分布已知）
$$
Z=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}} \quad 当 H_{0} 为真时, U \sim N(0,1).
$$
（4）选定常数k判断假设是否正确
当观察值$\bar x$满足$\frac{\left|\bar{x}-\mu_{0}\right|}{\sigma / \sqrt{n}} \geq {k}$时（感觉这个地方有点像置信区间），拒绝假设$H_0$，分支接受假设$H_0$。
1.1.1 如何确定常数k
因为当$H_0$为真时，满足$Z=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$，取标准正态分布分位点$k=z_{\alpha/2}$，当$\frac{\left|\bar{x}-\mu_{0}\right|}{\sigma / \sqrt{n}} \geq z_{\alpha / 2}$时，拒绝假设$H_0$，反之接受$H_0$。
1.2 假设检验的过程
在例1中选定$\alpha=0.05$，则$k=z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96$，又已知n=9，$\sigma=0.015$，由样本计算得到$\bar x=0.511$，既有
$$
\frac{|\bar{x}-\mu_{0}|}{\sigma / \sqrt{n}}=2.2>1.96
$$
于是拒绝假设$H_0$，认为包装机不正常。
以上所采取的检验法的合理性分析：
通常$\sigma$总是取得很小，如$\sigma=0.01$，$\sigma=0.05$，则：
$$
P{|\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}}| \geq z_{\alpha / 2}}=\alpha
$$
即$\left|\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}}\right| \geq z_{\alpha / 2}$是一个小概率事件。如果在一次实验中，上述不等式成立，则有理由怀疑原来的假设$H_0$的正确性，因而拒绝假设$H_0$。
1.3 假设检验的相关概念
1.3.1 显著性水平
若$|z|=\left|\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}}\right| \geq k$，则称$\bar x$与$\mu_0$的差异是显著的，则拒绝假设$H_0$，反之接受$H_0$。
其中$k$由$α$决定，$α$称为显著性水平。
1.3.2 检验统计量
统计量$Z=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}}$称为检验统计量。
1.3.3 原假设与备择假设
假设检验问题通常叙述为：在显著性水平α下：
- 检验假设$H_{0}: \mu=\mu_{0}$
- $H_{1}: \mu \neq \mu_{0}$
其中$H_0$称为原假设或零假设，$H_1$称为备择假设。
1.3.4 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域$C$中的值时, 我们拒绝原假设$H_0$，则称区域$C$为拒绝域，拒绝域的边界点称为临界点。
如在例1中：
- 拒绝域为$|z| \geq z_{\alpha / 2}$
- 临界点为$z=-z_{\alpha / 2}$和$z=z_{\alpha / 2}$
1.3.5 两类错误及记号
第I类错误的概率记为：$P_{ 当 H_{0} 为真拒绝H_{0}} $或$ P_{\mu \in H_{0}}\{拒绝H_{0}\}$
第II类错误的概率记为：$P_{ 当 H_{0} 不真接受H_{0}} $或$ P_{\mu \in H_{1}}\{接受H_{0}\}$
1.3.6 显著性检验
只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯第二类错误的概率的检验，称为显著性检验.
1.3.7 双边备择假设与双边假设检验
1.3.8 右边检验与左边检验
- 右边检验：形如$H_{0}: \mu \leq \mu_{0}$，$H_{1}: \mu>\mu_{0}$的假设检验
- 左边检验：形如$H_{0}: \mu \geq \mu_{0}$，$H_{1}: \mu < \mu_{0}$的假设检验
右边检验与左边检验统称为单边检验。
1.3.9 单边检验的拒绝域
右边检验的拒绝域为：
$$z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\geq z_\alpha $$
左边检验的拒绝域为：
$$z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \leq - z_\alpha $$
1.4 假设检验的一般步骤
- 根据实际问题的要求，提出原假设$H_0$及备择假设$H_1$
- 选择待检参数的估计量，确定检验统计量以及拒绝域的形式
- 求出拒绝域
- 根据样本观察值确定接受还是拒绝原假设
2 正态总体均值的假设检验（单个总体）
2.1 $\sigma^2$已知，关于$\mu$的检验（Z检验）
- 假设检验$H_{0}: \mu=\mu_{0}$，$H_{1}: \mu \neq \mu_{0}$
- 假设检验$H_{0}: \mu \leq \mu_{0}$，$H_{1}: \mu > \mu_{0}$
- 假设检验$H_{0}: \mu \geq \mu_{0}$，$H_{1}: \mu < \mu_{0}$
利用$H_0$为真时服从$N(0, 1)$分布的统计量：
$$
Z=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)
$$
来确定拒绝域，这种检验法称为Z 检验法。
例1：某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下：
假定切割的长度服从正态分布，且标准差没有变化，试问该机工作是否正常？（α=0.05）
2.2 $\sigma^2$未知，关于$\mu$的检验（t检验）
当$H_0$为真时，$\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$，采用$t=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S / \sqrt{n}}$来作为检验统计量的称为t检验。
取$k=t_{\alpha / 2}(n-1)$，则
$$
\boldsymbol{P}{|\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\boldsymbol{S} / \sqrt{n}}| \geq \boldsymbol{t}_{a / 2}(\boldsymbol{n}-1)}=\alpha
$$
拒绝域为
$$
|t|=\left|\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s / \sqrt{n}}\right| \geq t_{\alpha / 2}(n-1)
$$
3 正态总体方差的假设检验（单个总体）
设总体$X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$，$\mu$和$\sigma^2$均未知，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$是来自X的样本，给定显著性水平α，要求检验假设
$$
H_{0}: \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}, \quad H_{1}: \sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2}
$$
其中，$\sigma_{0}^{2}$为已知常数。
4 本章总结
- 假设检验的基本原理、相关概念(9个)和一般步骤(5 步)。
- 熟练进行单个正态总体的均值检验（包括方差已知（Z检验）和未知（t检验）两种情况。）
- 熟练进行单个正态总体的方差检验。
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