1 向量组及其线性组合
1.1 向量
【定义1】n个有次序的数a1,a2,⋯,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ai称为第i个分量。
1.1.1 向量的表示法
n维向量写成一行,称为行向量,也称为行矩阵,常用aT,bT,αT,βT等表示,如aT=(a1,a2,⋯,an)。
n维向量写成一列,称为列向量,也称为列矩阵,常用a,b,α,β等表示。
说明:
- 行向量和列向量总看成两个不同的向量。
- 行向量和列向量都按矩阵的运算法则进行运算。
- 在没有明确说明时,向量均理解为列向量。
1.2 向量组与矩阵的关系
由若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)组成的集合,称为一个向量组。
反之,由有限个向量组成的向量组可以构成一个矩阵。
1.3 线性组合及线性表示
【定义2】给定向量组A:a1,a2,⋯,am,对于任何一组实数k1,k2,⋯,km,表达式k1a1+k2a2+⋯+kmam称为向量组A的一个线性组合,k1,k2,⋯,km称为这个线性组合的系数。
给定向量组A:a1,a2,⋯,am和向量b,如果存在一组实数λ1,λ2,⋯,λm,使得
b=λ1a1+λ2a2+⋯+λmam
则向量b是向量A的线性组合,此时称向量b能由向量A线性表示。
【定理1】向量b能由向量组A:a1,a2,⋯,am线性表示的充要条件是:
R(A)=R(A,b)
相当于线性方程组有解。
【定义3】设有两个向量组A:a1,a2,⋯,am及B:b1,b2,⋯,bl,若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互表示,则称两个向量组等价。
可以将向量组的线性组合、线性表示及等价的概念移用到线性方程组。
- 对方程组A的各个方程作线性运算,所得到的方程称为方程组A的一个线性组合。
- 若方程组B的每个方程都是方程组A的线性组合,就称方程组b能由方程组A线性表示,此时方程组A的解一定是方程组B的解。
若方程组A与方程组B能互相表示,就称这两个方程组可互推,互推的方程组一定同解。
【定理3】向量B:b1,b2,⋯,bl能由向量组A:a1,a2,⋯,am线性表示的充要条件是:
R(A)=R(A,B)
【推论】向量组A:a1,a2,⋯,am与向量组B:b1,b2,⋯,bl等价的充要条件是:
R(A)=R(B)=R(A,B)
【定理4】向量B:b1,b2,⋯,bl能由向量组A:a1,a2,⋯,am线性表示,则:
R(b1,b2,⋯,bl)≤R(a1,a2,⋯,am)
2 向量组的线性相关性
2.1 线性相关的概念
【定义1】给定向量组A:a1,a2,⋯,am,若存在不全为0的数k1,k2,⋯,km,使
k1a1+k2a2+⋯+kmam=0
则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关。
注意:
- 向量组A:a1,a2,⋯,am线性无关,则k1,k2,⋯,km全为0
- 对任一向量组,不是线性相关的就是线性无关的
- 向量组只含有一个向量a时,若a=0称向量组是线性相关的,饭之为线性无关
- 对于含有两个向量的向量组,它是线性相关的充分必要条件是两向量的分量对应成比例。几何意义是两向量共线。三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。
- 包含零向量的向量组是线性相关的。
2.2 线性相关性的判定
【定理1】向量组a1,a2,⋯,am(m≥2)线性相关的充要条件是a1,a2,⋯,am中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。
向量组的线性相关与线性无关的概念可以移用到线性方程组中。
当方程组中某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的,这时称方程组(各个方程)是线性相关的;
当方程组中没有多余的方程时,就称方程组(各个方程)线性无关(或线性独立)。
向量组A线性相关⟷齐次线性方程组Ax=0有非0解
【定理2】向量组a1,a2,⋯,am线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,⋯,am)的秩小于向量的个数m,及R(A)<m。
线性无关的充分必要条件是R(A)=m。
【定理3】若向量组A:a1,a2,⋯,am线性相关,则向量组B:a1,a2,⋯,am,am+1也线性相关;反言之,如果向量组B线性无关,则向量组A也线性无关。
- m个n维向量构成的向量组,当n<m时,一定线性相关。特别地,n+1个n维向量一定线性相关。
即一个向量组若有线性相关的部分组,则该向量组线性相关。特别地,含有零向量的向量组一定线性相关。反之,若一个向量组线性无关,则它的任何部分组都线性无关。
3 向量组的秩
3.1 最大线性无关向量组
【定义1】设有向量组A,若在A中能够选出r个向量a1,a2,⋯,ar,满足:
- 向量组A0:a1,a2,⋯,ar都线性无关
- 向量组A中任意r+1个向量都线性相关
那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组)。
最大无关组中所含向量的个数r称为向量组A的秩,记为RA。
- 只含有零向量的向量组没有最大无关组,规定它的秩为0
3.2 矩阵的秩与向量组的秩
对于只含有限个向量的向量组A:a1,a2,⋯,ar,它可以构成矩阵A=(a1,a2,⋯,am)。
【定理1】矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩。
若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式:
- Dr所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组
- Dr所在的r行是A的行向量组的一个最大无关组
说明:
- 向量组的最大无关组不是唯一的
- 向量组A与它的最大无关组A0等价(向量组与其最大无关组可以相互表示)
3.3 总结
- 最大线性无关向量组的概念——最大性、无关性
- 矩阵的秩与向量组的秩之间的关系
- 关于向量组秩的一些结论
- 求向量组的秩及其最大无关组的方法
- 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵;
- 对矩阵进行初等行变换化成行阶梯形矩阵,即可得到向量组的秩和最大无关组。
4 线性方程组的解的结构
4.1 齐次线性方程组的解的性质
【性质1】若x=ξ1,x=ξ2是齐次线性方程组的解,那么x=ξ1+ξ2也是方程的解。
【性质2】若x=ξ1是齐次线性方程组的解,k为实数,那么x=kξ1也是方程的解。
4.2 基础解系及其求法
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该方程组的基础解系。
由上面讨论知,要求齐次线性方程组的通解,只需求出它的基础解系即可。
【定理1】设m×n矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩
Rs=n−r
- 当R(A)=n时,方程组只有零解,没有基础解系;
- 当R(A)=r<n时,方程组的基础解系中含有n−r个向量,此时任意n−r个线性无关的解均可构成它的基础解系,因此齐次线性方程组的基础解系不是唯一的,它的通解形式也不是唯一的。
4.3 非齐次线性方程组的解的性质
设有非齐次线性方程组
将其写成向量方程Ax=b,记为方程6。
【性质3】设x=η1及x=η2都是(6)的解,则x=η1−η2为对应的齐次线性方程组Ax=0(记为方程7)的解。
【性质4】设x=η是方程(6)的解,x=ξ是方程(7)的解,则x=ξ+η仍是(6)的解。
非线性方程组的通解为
x=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r+η∗
其中ξ1,ξ2,⋯,ξn−r是方程(7)的基础解系。
4.4 总结
5 向量空间
5.1 向量空间的概念
【定义1】设V是n维向量的集合,若集合V非空,且集合V对向量的加法及数乘两种运算封闭,那么称集合V为向量空间。
集合V对加法和数乘封闭是指
- 若α∈V,β∈V,则有α+β∈V
- 若α∈V,λ∈R,则有λα∈V
n维向量的集合是一个向量空间,记作Rn。
一般地,由向量组a1,a2,⋯,am生成的向量空间为
L={x=λ1a1+λ2a2+⋯+λmam∣λ1,λ2,⋯,λm∈R}
5.2 向量空间的基与向量的坐标
【定义2】设V是向量空间,若存在r个向量a1,a2,⋯,ar∈V,且满足
- a1,a2,⋯,ar线性无关
- V中任一向量均可由a1,a2,⋯,ar线性表示
那么向量组a1,a2,⋯,ar就称为向量空间V的一个基,r称为向量空间V的维数,并称V为r维向量空间。
说明:
- 只含有零向量的向量空间称为0维向量空间,因此它没有基。
- 若将向量空间看成向量组,那么V的基就是向量组的最大无关组,V的维数就是向量组的秩。
- 若向量组a1,a2,...,ar是向量空间 V 的一个基,则 V 可以表示为
V={x=λ1a1+λ2a2+⋯+λrar∣λ1,λ2,⋯,λr∈R}
即 V 是基所生成的向量空间,由此得出了向量空间 V 的构造方法。
例如,齐次线性方程组的解空间S=x∣Ax=0,若能找到解空间的一个基ξ1,ξ2,⋯,ξn−r,则解空间为:
S={x=c1ξ1+c2ξ2+⋯+cn−rξn−r∣c1,c2,⋯,cn−r∈R}
【定义3】若在向量空间V中取定一个基a1,a2,⋯,ar,那么V中任意向量x可唯一标识为
x=λ1a1+λ2a2+⋯+λrar
其中数组λ1,λ2,⋯,λr称为x在基a1,a2,⋯,ar中的坐标。
特别地,在 n 维向量空间Rn中,取单位坐标向量组e1,e2,...en为基,则以x1,x2,...,xn为分量的向量x可表示为:
x=x1e1+x2e2+⋯+xnen
可见向量在基e1,e2,...en中的坐标就是该向量的分量,因此e1,e2,...en称作Rn中的自然基。