线性代数第3章：矩阵的初等变换与线性方程组

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1 矩阵的初等变换

1.1 矩阵的初等变换

将解方程组的过程总结如下：

1. 解方程组的方法称为消元法；
2. 解方程组时，始终将方程看成一个整体变形，并且用到了如下三种变换
   • 交换方程次序
   • 以不为0的数乘某个方程
   • 一个方程加上另一个方程的k倍
3. 上述3种变换都是可逆的，由此变换前与变换后的方程组同解。

在上述变换过程中，只对方程组的系数和常数项进行运算，未知量并未参加运算，因此若记方程组的增广矩阵为：

则上述方程组的变换可转化为对矩阵B的变换。

1.1.1 定义1

下列三种变换称为矩阵的初等行变换：

1. 对换2行
2. 以数$k\ne 0$乘某一行中的所有元素
3. 某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去

将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义（所用记号是将“r”换成“c”）。

矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩阵的初等变换。初等变换的逆变换也是初等变换，且与原变换的类型相同。

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作$A\sim B$。

矩阵之间的等价关系具有下列性质：

1. 反身性：$A\sim A$
2. 对称性：若$A\sim B$，则$B\sim A$
3. 传递性：若$A\sim B$，$B\sim C$，则$A\sim C$

具有上述三条性质的关系，在集合关系中称为等价关系。

两个方程组同解，可称为两个方程组等价。

下面利用矩阵的初等行变换来解线性方程组（1），其过程可与方程组（1）的消元过程一一对照：

取$x_3$为自由未知数，并令$x_3=c$，得到方程组的解如下，其中c为任意常数。

矩阵$B_4$和$B_5$都称为行阶梯形矩阵，其特点为：

1. 可画出一条阶梯线，线的下方全为零；
2. 每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元。

行阶梯形矩阵$B_5$还称为行最简形矩阵，其特点是：

1. 非零行的第一个非零元为1；
2. 这些非零元所在列的其余元素均为0。

对于任何矩阵$A_{m\times n}$，总可经过有限次初等行变换，将其变为行阶梯形和行最简形矩阵。

注意：行最简形矩阵再经过初等列变换，可变成如下形式：

矩阵F称为矩阵B的标准型，其特点是：

1. F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0
2. $m\times n$矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换），将其化为标准形

此标准型由m，n，r三个数完全决定，其中r是行阶梯形矩阵中非零行的行数。

所有与A等价的矩阵组成一个集合，标准形F是这个集合中形状最简单的矩阵。

1.2 初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

三种初等变换对应三种初等矩阵：

（1）将单位矩阵中的第$i$和$j$两行（列）对调，得初等矩阵

（2）以数$k\ne 0$乘单位阵的第i行（列），得初等矩阵：

（3）以k乘E的第j列加到第i行上，或以k乘E的第i列加到第j列上，得

归纳上面讨论得如下性质。

1.2.1 性质1

设A是一个$m\times n$矩阵，对A实施一次初等行（列）变换，相当于在A的左（右）边乘以相应的m（n）阶初等矩阵。

由初等矩阵的定义知：初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵。

1. $E(i,j{)}^{-1}=E(i,j)$
2. $E(i(k){)}^{-1}=E\left(i\left(\frac{1}{k}\right)\right)$
3. $E(ij(k){)}^{-1}=E(ij(-k))$

1.2.2 性质2

方阵A可逆的充分必要条件是：存在有限个初等矩阵 $P_1,P_2,\dots ,P_l$ ，使得

$$A=P_1{P}_2\cdots P_l$$

定理：设A与B是$m\times n$矩阵，则$A\sim B$的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得$PAQ=B$。

推论：方阵A可逆$⟷$$A\stackrel{r}{\sim }E$

1.2.3 利用初等变换求逆矩阵

1.2.4 利用初等变换求解方程组

1.3 总结

1. 矩阵的初等变换——3种变换
2. 初等矩阵——3种矩阵
3. 利用初等变换求逆矩阵
4. 重要结论——性质、定理、推论

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2 矩阵的秩

2.1 矩阵秩的概念

给定一个$m\times n$矩阵A，它的标准型

$$F=\left(\begin{array}{ccc}{E}_r& OO& O\end{array}\right)$$

是由数r完全确定的，这个数就是A的行阶梯形矩阵中非零行的行数，称这个数是矩阵A的行阶梯形矩阵中非零行的行数，称这个数是矩阵A的秩。

【定义1】在$m\times n$矩阵A中，任取k行与k列，位于这些行列交叉处的$k^2$个元素，不改变它们在A中所处的位置次序，而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

$m\times n$矩阵A的k阶子式共有$C_m^k·C_n^k$个。

【定义2】设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（若存在）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作$R(A)$，并规定零矩阵的秩等于0。

2.2 矩阵秩的求法

由上例可知，对于一般的矩阵，当行数与列数较高时，按定义求秩是很麻烦的。然而对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数。因此自然想到用初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵。

【定理】若$A\sim B$，则$R(A)=R(B)$

【推论】若有可逆矩阵P，Q，使$PAQ=B$，则$R(A)=R(B)$

2.3 矩阵秩的性质

2.4 总结

1. 矩阵秩的概念
2. 矩阵秩的求法
   • 定义法
   • 初等变换法
3. 矩阵秩的性质

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3 线性方程组的解

3.1 线性方程组解的判定条件

设有n个未知数m个方程的线性方程组

可以写成以向量x为未知元的向量方程：$Ax=b$。

【定理1】n元线性方程组$Ax=b$

1. 无解的充分必要条件是$R(A)<R(A,b)$
2. 有唯一解的充分必要条件是$R(A)=R(A,b)=n$
3. 有无限多解的充分必要条件是$R(A)=R(A,b)<n$

3.2 重要结论

【定理2】n元齐次线性方程组$Ax=0$有非零解的充要条件是$R(A)<n$。

【定理3】n元线性方程组$Ax=b$有非零解的充要条件是$R(A)=R(A,b)$。

定理2和定理3是定理1的特殊情况。

【定理4】矩阵方程$Ax=B$有解的充分必要条件是$R(A)=R(A,B)$

【定理5】设$AB=C$，则$R(C)=R(AB)\le minR(A),R(B)$

3.3 总结