1 二阶与三阶行列式

1.1 二阶行列式

定义：由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表$\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22}\end{array}$，表达式$a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$称为上述数表确定的二阶行列式，并记作$\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|$。

$$
D=\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}
$$

计算规则：对角线法则

1.2 三阶行列式

定义：设有9个数排成3行3列的数表

$$
\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}
$$

同时按以下规则进行计算：

（6）式称为数表所确定的三阶行列式。

1.2.1 对角线法则

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号。
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。

2 全排列与其逆序数

2.1 概念

定义：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）。n个不同的元素的所有排列的种数，通常用$P_{n}$表示。

2.2 排列的逆序数

规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.

定义：在一个排列$\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{t} \cdots i_{s} \cdots i_{n}\right)$中，若数$i_{t}>i_{s}$则称这两个数组成一个逆序.

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.

例如，在排列32514中，排序的逆序数时0+1+0+3+1=5

2.3 排列的奇偶性

逆序数为奇数的排列称为奇排列；
逆序数为偶数的排列称为偶排列；

2.4 计算排列逆序数的方法

分别计算出排在$1,2, \cdots, n-1, n$前面比它大的数码之和即分别算出$1,2, \cdots, n-1, n$这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.

2.5 总结

n个不同的元素的所有排列种数为$n!$
排列具有奇偶性
计算排列逆序数常用的方法有2种

3 n阶行列式

3.1 定义

定义：由n²个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不用列的n个元素的乘积的代数和$\sum(-1)^{t} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \cdots a_{n p_{n}}$，记作：

$$
D=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|
$$

简记作det(aij)，数aij称为行列式det(aij)的元素。

其中$p_{1} p_{2} \cdots p_{n}$为自然数1,2,…,n的一个排列，t为这个排列的逆序数。

$$
\begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \ \cdots \cdots \cdots \cdots \ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right| \ =\sum_{p_{1} p_{2} \cdots p_{n}}(-1)^{t\left(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}\right)} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \cdots a_{n p_{n}}\end{array}
$$

3.2 说明

行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的
n阶行列式是n!项的代数和
n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积
一阶行列式|a|=a不要与绝对值记号混淆
$a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \cdots a_{n p_{n}} 的符号为 (-1)^{t}$
主对角线以下（以上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式
特别地，主对角线以下和以上的元素都为0的行列式叫做对角行列式

3.3 总结

行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.
n阶行列式共有n!项，每项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.

4 对换

4.1 对换的定义

在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．

4.2 对换与排列的奇偶性的关系

一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数

5 行列式的性质

5.1 主要性质

5.1.1 性质1

记行列式$D^{T}$称为行列式D的转置行列式。

$$
\boldsymbol{D}=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \ \vdots & & \ddots & \vdots \ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right| \boldsymbol{D}^{T}=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n 1} \ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n 2} \ \vdots & & \ddots & \vdots \ a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|
$$

性质1：行列式与它的转置行列式相等。