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1 大数定律

1.1 弱大数定律 (辛钦大数定律)

设随机变量序列 $X_{1}$ , $X_{2}$ , $\dots$ 相互独立，服从同一分布，具有数学期望 $E (X_{i}) = μ, i = 1, 2, \dots$ ，则对于任意正数 $E$ ，有

$lim_{n \to \infty} P | \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - μ | < ε = 1$

1.1.1 依概率收敛定义及性质

设Y1, Y2, …,Yn…是一个随机变量序列，a是一个常数。若对任意正数ε，有

$lim_{n \to \infty} P | Y_{n} - a | < ε = 1$

$则称序列 Y_{1}, Y_{2}, \dots Y_{n}, \dots 依概率收敛于 a$ ，记作 $Y_{n} \overset{P}{\to} a .$

1.1.2 定理1的另一种叙述

设随机变量序列X1,X2, … 相互独立，服从同一分布，具有数学期望 $E (X_{i}) = μ, i = 1, 2, \dots$ 则序列 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum^{n} X_{i} 依概率收敛于 μ 。即$ $\bar{X} \overset{P}{\to} μ$ 。

1.2 伯努利大数定律

设 nA 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε> 0 ，有

$lim_{n \to \infty} P | \frac{n_{A}}{n} - p | < ε = 1 或 lim_{n \to \infty} P | \frac{n_{A}}{n} - p | \geq ε = 0$

2 中心极限定理

2.1 中心极限定理产生的背景

实际中，许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而每一个个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。这种随机变量往往近似地服从正态分布。

2.2 定理1（独立同分布下的中心极限定理）

设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \dots X_{n}, \dots$ 相互独立，服从同一分布，且具有数据期望和方差：

$E (X_{k}) = μ, D (X_{k}) = σ^{2}, k = 1, 2, \dots$

则随机变量之和 $\sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ 的标准化变量为：

$Y_{n} = \frac{\sum_{k = 1}^{n} X_{k} - n μ}{\sqrt{n} σ}$

其分布函数F(x)对任意x满足：

$lim_{n \to \infty} P | \frac{n_{A}}{n} - p | < ε = 1 或 lim_{n \to \infty} P | \frac{n_{A}}{n} - p | \geq ε = 0$

上述结论等价于：

2.3 定理3 棣莫佛－拉普拉斯（De Movire-Laplace定理）

设随机变量 $η_{n} (n = 1, 2, \dots)$ 服从参数 $n, p (0 < p < 1)$ 的二项分布，则对任意x，有

$lim_{n \to \infty} P \frac{η_{n} - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}} \leq x = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{t^{2}}{2}} d t = Φ (x)$

定理标命，当n很大时，0<p<1是一个定值时，二项变量 $η_{n}$ 的分布近似正态分布 $N (n p, n p (1 - p))$ ，即：

$η_{n} \overset{近似地}{\sim} N (n p, n p (1 - p))$

例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,…20),设它们是相互独立的随机变量, 且都在区间(0,10)上服从均匀分布. 记 $V = \sum_{k = 1}^{n} V_{k}$ , 求 $P V > 105$ 的近似值